Question

【題目】已知函數(shù)

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時，設(shè).若正實數(shù)，滿足，，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)后，分別在和兩種情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）通過分離變量得到，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得最大值，由此得到；

（3）設(shè)，以為變量，令，通過判斷導(dǎo)函數(shù)的正負可確定在上單調(diào)遞增，得到，從而得到結(jié)論.

（1）由題意知：定義域為，，

令，則，

①當(dāng)時，，即恒成立，

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；無單調(diào)遞減區(qū)間；

②當(dāng)時，令，

解得：，，可知，

當(dāng)和時，，即；

當(dāng)時，，即；

的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；

綜上所述：①當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；

②當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）對恒成立，即為對任意的，都有，

設(shè)，則，

令，則，

∴在上單調(diào)遞減，又，

∴當(dāng)時，，即，單調(diào)遞增；

當(dāng)，，即，單調(diào)遞減，

∴，

∴實數(shù)的取值范圍為.

（3）證明：當(dāng)時，，

不妨設(shè)，以為變量，令，

則

且，

，即，又為增函數(shù)，

；

，，在上單調(diào)遞增，

，，

即.