Question

15．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F₁，F(xiàn)₂，橢圓上一點M（$\frac{2\sqrt{6}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，滿足．則橢圓的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．

Answer 1

分析 利用數(shù)量積運算性質(zhì)、點與橢圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為點的坐標滿足橢圓方程即可得出．

解答 解：設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=$（-c-\frac{2\sqrt{6}}{3}，-\frac{\sqrt{3}}{3}）$，$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=$（c-\frac{2\sqrt{6}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}）$．
∵$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，∴$（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}$-c²+$（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}$=0，
∴c²=3．
∴a²-b²=3，①
又點M在橢圓上，∴$\frac{8}{3{a}^{2}}$+$\frac{1}{3^{2}}$=1  ②
由①代入②得：$\frac{8}{3{a}^{2}}$+$\frac{1}{3（{a}^{2}-3）}$=1，
整理為：a⁴-6a²+8=0，
解得a²=2，或4，
∵a²＞3，∴a²=4，b²=1．
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、數(shù)量積運算性質(zhì)、點與橢圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．