Question

（本小題滿分12分）如圖，已知正三棱柱的各棱長(zhǎng)都是4， 是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在側(cè)棱上，且不與點(diǎn)重合．

（I）當(dāng)時(shí)，求證：；

（II）設(shè)二面角的大小為，求的最小值．

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

解法一：過E作于N，連結(jié)EF．

（I）如圖1，連結(jié)NF、，由直棱柱的性質(zhì)知，底面ABC側(cè)面．

又底面側(cè)面=AC，且底面ABC，所以側(cè)面，

∴NF為EF在側(cè)面內(nèi)的射影，

在中，=1，則由，得NF//，

又故，由三垂線定理知

（II）如圖2，連結(jié)AF，過N作于M，連結(jié)ME，由（I）知側(cè)面，

根據(jù)三垂線定理得,所以是二面角C—AF—E的平面角，即．

設(shè)，在中，

在 故

又，故當(dāng)即當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小值，

，此時(shí)F與重合．

解法二：（I）建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，則由已知可得

于是

故

（II）設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為，

則由（I）得，

于是由可得

                        取

                        又由直三棱柱的性質(zhì)可取側(cè)面

                        的一個(gè)法向量為，

于是由為銳角可得，∴，

由，得，即

故當(dāng)，即點(diǎn)F與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值

 

【解析】略