Question

【題目】如圖，在三棱錐S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AC=AB=SA=2，AC⊥AB，D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在SE上，且SF=2FE．
（1）求證：AF⊥平面SBC；
（2）在線段上DE上是否存在點(diǎn)G，使二面角G﹣AF﹣E的大小為30°？若存在，求出DG的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由AC=AB=SA=2，AC⊥AB，E是BC的中點(diǎn)，得 ．

因?yàn)镾A⊥底面ABC，所以SA⊥AE．

在Rt△SAE中， ，所以 ．

因此AE2=EFSE，又因?yàn)椤螦EF=∠AES，

所以△EFA∽△EAS，

則∠AFE=∠SAE=90°，即AF⊥SE．

因?yàn)镾A⊥底面ABC，所以SA⊥BC，又BC⊥AE，

所以BC⊥底面SAE，則BC⊥AF．

又SE∩BC=E，所以AF⊥平面SBC

（2）解：結(jié)論：在線段上DE上存在點(diǎn)G使二面角G﹣AF﹣E的大小為30°，此時(shí)DG= ．

理由如下：

假設(shè)滿足條件的點(diǎn)G存在，并設(shè)DG=t．

過(guò)點(diǎn)G作GM⊥AE交AE于點(diǎn)M，

又由SA⊥GM，AE∩SA=A，得GM⊥平面SAE．

作MN⊥AF交AF于點(diǎn)N，連結(jié)NG，則AF⊥NG．

于是∠GNM為二面角G﹣AF﹣E的平面角，

即∠GNM=30°，由此可得 ．

由MN∥EF，得 ，

于是有 ， ．

在Rt△GMN中，MG=MNtan30°，

即 ，解得 ．

于是滿足條件的點(diǎn)G存在，且 ．

【解析】（1）通過(guò)證明AF與平面SBC內(nèi)的兩條相交直線垂直即可；（2）抓住兩點(diǎn)找到問(wèn)題的求解方向：一是點(diǎn)G的預(yù)設(shè)位置，二是二面角G﹣AF﹣E的位置，計(jì)算即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．