Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax+3，對(duì)任意x∈R有f（1-x）=f（1+x）恒成立．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=log_ax+m，對(duì)于任意的x₁，x₂∈[1，4]有f（x₁）＞g（x₂）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）對(duì)任意x∈R有f（1-x）=f（1+x）恒成立，
所以令x=1得：f（0）=f（2）即4-2a+3=3解得a=2；
（2）有（1）得f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2為對(duì)稱軸為x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）開口向上的拋物線，g（x）=log₂^x+m，
對(duì)于任意的x₁，x₂∈[1，4]有f（x₁）＞g（x₂）恒成立，
則需求出f（x）的最小值為f（1）=2，則有g(shù)（1）＜2，即m＜2
分析：（1）令x等于1得到f（0）=f（2）代入求出a的值；
（2）由（1）得到f（x）的解析式，因?yàn)閒（x₁）＞g（x₂）恒成立，即要f（x）的最小值大于g（x），求出f（x）的最小值，列出不等式求出m的范圍即可．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生理解函數(shù)恒成立的條件，靈活運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)求二次函數(shù)最值的能力．