設數(shù)列的前項和為，且對任意的，都有，．

（1）求，的值；

（2）求數(shù)列的通項公式；

（3）證明：．

（1）    （2）  （3）見解析


解析:

  （1）解：當時，有，

由于，所以．

當時，有，即，

將代入上式，由于，所以．

（2）解：由，

得，                            ①

則有．              ②

②－①，得，

由于，所以．                 ③

同樣有，                      ④

③－④，得．

所以．

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由于，即當時都有，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．

故．

（3）證明1：由于，

，

所以．

即．

令，則有．

即，

即

故．

證明2：要證，

只需證，

只需證，

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只需證．

由于

．

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因此原不等式成立．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（09年長沙一中一模文）（13分）  設數(shù)列的前項和為，且，其中為常數(shù)且．

（１）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（２）設數(shù)列的公比，數(shù)列滿足，（

　　　求數(shù)列的通項公式；

（３）設，，數(shù)列的前項和為，求證：當時，．

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科目：高中數(shù)學 來源：廣東省佛山一中2010-2011學年高一下學期期末考試數(shù)學 題型：解答題

（本題滿分14分）.設數(shù)列的前項和為，且．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設，數(shù)列的前項和為，求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年湖北省八校高三第二次聯(lián)考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

設數(shù)列的前項和為，且滿足.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）在數(shù)列的每兩項之間按照如下規(guī)則插入一些數(shù)后，構(gòu)成新數(shù)列：與兩項之間插入個數(shù)，使這個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其公差為，求數(shù)列的前項和為.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年北京市海淀區(qū)高三5月查漏補缺數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

設數(shù)列的前項和為，且滿足.

（Ⅰ）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

（Ⅱ）求通項公式；

（Ⅲ）若數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列的前項和為.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年新疆烏魯木齊一中高三第一次月考文科數(shù)學試卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）設數(shù)列的前項和為，且對于

任意的正整數(shù)都成立，其中為常數(shù)，且

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列（4分）

（2）設數(shù)列的公比，數(shù)列滿足：，）（，

 

，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的前項和

 

 

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