對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f（x），若有常數(shù)M，使得對(duì)任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D滿足等式
f(x1)+f(x2)2
=M，則稱(chēng)M為函數(shù)y=f （x）的“均值”．
（1）判斷1是否為函數(shù)f（x）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)f（x）=ax2-2x（1＜x＜2，a為常數(shù)）存在“均值”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，且其值域?yàn)閰^(qū)間I．試探究函數(shù)f（x）的“均值”情況（是否存在、個(gè)數(shù)、大小等）與區(qū)間I之間的關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論（不必證明）．
分析：（1）根據(jù)均值的定義，要判斷1是函數(shù)f（x）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”，即要驗(yàn)證
f(x1)+f(x2)
2
=x1+x2+1=1；
（2）函數(shù)f（x）=ax2-2x（1＜x＜2，a為常數(shù)）存在“均值”，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-2x（1＜x＜2）存在“均值”，且“均值”為-3；當(dāng)a≠0時(shí)，由f（x）=ax2-2x（1＜x＜2）存在均值，可知對(duì)任意的x1，都有唯一的x2與之對(duì)應(yīng)，從而有f（x）=ax2-2x（1＜x＜2）單調(diào)，從而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）根據(jù)（1），（2）的結(jié)論對(duì)于當(dāng)I=（a，b）或[a，b]時(shí)，函數(shù)f（x）存在唯一的“均值”；當(dāng)I為（-∞，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）存在無(wú)數(shù)多個(gè)“均值”，當(dāng)為半開(kāi)半閉區(qū)間時(shí)，函數(shù)f（x）不存在均值．
解答：解：（1）對(duì)任意的x1∈[-1，1]，有-x1∈[-1，1]，
當(dāng)且僅當(dāng)x2=-x1時(shí)，有
f(x1)+f(x2)
2
=x1+x2+1=1，
故存在唯一x2∈[-1，1]，滿足
f(x1)+f(x2)
2
=1，
所以1是函數(shù)f（x）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”．
（2）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-2x（1＜x＜2）存在“均值”，且“均值”為-3；
當(dāng)a≠0時(shí)，由f（x）=ax2-2x（1＜x＜2）存在均值，可知對(duì)任意的x1，
都有唯一的x2與之對(duì)應(yīng)，從而有f（x）=ax2-2x（1＜x＜2）單調(diào)，
故有
1
a
≤1或
1
a
≥2，
解得a≥1或a＜0或0＜a≤
1
2
，
綜上，a的取值范圍是a≤
1
2
或a≥1．　　　　　　　　　
（3）①當(dāng)I=（a，b）或[a，b]時(shí)，函數(shù)f（x）存在唯一的“均值”．
這時(shí)函數(shù)f（x）的“均值”為
a+b
2
；　
②當(dāng)I為（-∞，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）存在無(wú)數(shù)多個(gè)“均值”．
這時(shí)任意實(shí)數(shù)均為函數(shù)f（x）的“均值”；　　　　　
③當(dāng)I=（a，+∞）或（-∞，a）或[a，+∞）或（-∞，a]或[a，b）或（a，b]時(shí)，
函數(shù)f（x）不存在“均值”．　　　　　　　　　　　　　
①當(dāng)且僅當(dāng)I形如（a，b）、[a，b]其中之一時(shí)，函數(shù)f（x）存在唯一的“均值”．
這時(shí)函數(shù)f（x）的“均值”為
a+b
2
；　
②當(dāng)且僅當(dāng)I為（-∞，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）存在無(wú)數(shù)多個(gè)“均值”．
這時(shí)任意實(shí)數(shù)均為函數(shù)f（x）的“均值”；　　　　　
③當(dāng)且僅當(dāng)I形如（a，+∞）、（-∞，a）、[a，+∞）、（-∞，a]、[a，b）、（a，b]其中之一時(shí)，
函數(shù)f（x）不存在“均值”．
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題，考查函數(shù)單調(diào)性的理解，和學(xué)生的閱讀能力，以及分析解決問(wèn)題的能力，其中問(wèn)題（3）是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆D，同時(shí)滿足：
①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；
②當(dāng)定義域是[m，n]時(shí)，f（x）的值域也是[m，n]．則稱(chēng)[m，n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．
（1）求證：函數(shù)y=g(x)=3-
5
x
不存在“和諧區(qū)間”．
（2）已知：函數(shù)y=
(a2+a)x-1
a2x
（a∈R，a≠0）有“和諧區(qū)間”[m，n]，當(dāng)a變化時(shí)，求出n-m的最大值．
（3）易知，函數(shù)y=x是以任一區(qū)間[m，n]為它的“和諧區(qū)間”．試再舉一例有“和諧區(qū)間”的函數(shù)，并寫(xiě)出它的一個(gè)“和諧區(qū)間”．（不需證明，但不能用本題已討論過(guò)的y=x及形如y=
bx+c
ax
的函數(shù)為例）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱(chēng)區(qū)間M為函數(shù)f（x）的“等值區(qū)間”．給出下列三個(gè)函數(shù)：
①f(x)=(
12
)x；   ②f（x）=x3；    ③f（x）=log2x+1
則存在“等值區(qū)間”的函數(shù)的個(gè)數(shù)是
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f（x），若同時(shí)滿足下列條件：①f（x）在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫閉函數(shù)．
（1）求閉函數(shù)y=-x3符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（2）判斷函數(shù)f（x）=
3
4
x+
1
x
（x＞0）是否為閉函數(shù)？并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•崇明縣一模）定義：對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)f（x），如果存在t∈D，使得f（t+1）=f（t）+f（1）成立，稱(chēng)函數(shù)f（x）在D上是“T”函數(shù)．已知下列函數(shù)：
①f（x）=
1x
；　
②f（x）=log2（x2+2）；
③f（x）=2x（x∈（0，+∞））；　
④f（x）=cosπx（x∈[0，1]），其中屬于“T”函數(shù)的序號(hào)是
③
③
．（寫(xiě)出所有滿足要求的函數(shù)的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)f（x），若同時(shí)滿足下列條件：①f（x）在D內(nèi)有單調(diào)性；②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域也為[a，b]，則稱(chēng)f（x）為D上的“和諧”函數(shù)，[a，b]為函數(shù)f（x）的“和諧”區(qū)間．
（Ⅰ）求“和諧”函數(shù)y=x3符合條件的“和諧”區(qū)間；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x＞0)是否為“和諧”函數(shù)？并說(shuō)明理由．
（Ⅲ）若函數(shù)g(x)=
x+4
+m是“和諧”函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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