Question

函數(shù)f（x）=x³-6x²的定義域?yàn)閇-2，t]（t＞-2），設(shè)f（-2）=m，f（t）=n．
（1）求證：n＞m；
（2）求證：存在x₀∈（-2，t），滿足f′（x₀）=

n-m

t+2

；并確定這樣的x₀的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用“作差法”，通過因式分解即可得出；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，通過對t分類討論和函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法即可得出．

解答：解：（1）設(shè)h（t）=n-m，
則h（t）=t³-6t²+32=t³+8-6（t²-4）=（t+2）（t²-2t+4）-6（t+2）（t-2）=（t+2）（t-4）²，
∵t＞-2，∴h（t）＞0，
∴n＞m．
（2）由（1），知n-m=（t+2）（t-4）²，∴

n-m

t+2

=(t-4)2．
又∵f′（x）=3x²-12x，我們只要證明方程3x²-12x-（t-4）²=0（*）
在（-2，t）內(nèi)有解即可．                                                                    
記g（x）=3x²-12x-（t-4）²，
則g（-2）=36-（t-4）²=-（t+2）（t-10），g（t）=3t²-12t-（t-4）²=2（t+2）（t-4），
①當(dāng)-2＜t＜4時(shí)，g（-2）＞0，g（t）＜0，方程（*）在（-2，t）內(nèi)有且只有一解；  
②當(dāng)t=4 時(shí)，g（x）=3x²-12x=3x（x-4），方程（*）在（-2，t）內(nèi)有且只有一解x=0；
③當(dāng)4＜t＜10時(shí)，g（-2）=-（t+2）（t-10）＞0，g（t）=2（t+2）（t-4）＞0，
又g（2）=-12-（t-4）²＜0，
∴方程（*）在（-2，2），（2，t）內(nèi)分別各有一解，方程（*）在（-2，t）內(nèi)兩解；′
④當(dāng)t=10時(shí)，方程g（x）=3x²-12x-36=3（x+2）（x-6）=0
在（-2，10）內(nèi)有且只有一解x=6．                                                                
⑤t＞10時(shí)，g（-2）＜0，g（t）＞0，方程（*）在（-2，t）內(nèi)有且只有一解．      
綜上，對于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足f′(x0)=

n-m

t+2

．
當(dāng)t∈（-2，4]∪[10，+∞）時(shí)，滿足f′(x0)=

n-m

t+2

，x₀∈（-2，t）的x₀有且只有一個(gè)；
當(dāng)t∈（4，10）時(shí)，滿足f′(x0)=

n-m

t+2

，x₀∈（-2，t）的x₀恰有兩個(gè)．

點(diǎn)評：熟練掌握“作差法”比較兩個(gè)數(shù)的大小、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、分類討論和函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法等是解題的關(guān)鍵．