Question

某廠家擬在2011年舉行促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量（即該廠的年產(chǎn)量）t萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)用x萬(wàn)元（x≥a，a為一個(gè)正常數(shù)）滿足，已知2011年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定和再投入兩部分資金）．
（1）將2011年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷(xiāo)費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù)；（注：利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-總成本）
（2）該廠家2011年投入的促銷(xiāo)費(fèi)用為多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？

Answer 1

解：（1）∵．
每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格為（元），----------（1分）
∴2011年的利潤(rùn)----------（3分）
=
即y=----------（5分）（定義域占1分）
（2）∵----------（2分）
由y'=0解得x=3（舍去-5）-----------（3分）
令y′＞0得0＜x＜3∴x∈（0，3）時(shí)，y為增函數(shù)，-------（4分）
令y′＜0得x＞3，x∈（3，+∞）時(shí)，y為減函數(shù)-----------（5分）
∴當(dāng)a＞3時(shí)，y在[a，+∞）上為減函數(shù)，x=a時(shí)，y最大----------（6分）
當(dāng)a≤3時(shí)，y在[a，3）上為增函數(shù)，在[3，+∞）上為減函數(shù)，x=3時(shí)，y最大---------（8分）
綜上所述，當(dāng)a＞3時(shí)，該廠家2011年投入的促銷(xiāo)費(fèi)用a萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大，
當(dāng)a≤3時(shí)，該廠家2011年投入的促銷(xiāo)費(fèi)用3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．-------（9分）
分析：（1）每件產(chǎn)品的成本為8+16t+x元，且，則利潤(rùn)函數(shù)整理即可；
（2）先求函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)最值時(shí)a的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利潤(rùn)函數(shù)模型的應(yīng)用，也考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問(wèn)題，是中檔題．