Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任何實(shí)數(shù)m，n總有f（m+n）=f（m）•f（n），且當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令m=n=

x

2

，則f（x）≥0，由條件推出f（x）＞0，令m=n=0，即可得到f（0）=1；
（2）令x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，則0＜f（x₂-x₁）＜1，f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）•f（x₂-x₁）即可判斷．

解答： 解：（1）∵f（m+n）=f（m）•f（n），
∴令m=n=

x

2

，則f（x）=f（

x

2

）•f（

x

2

）≥0，
由于x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1．則f（x）＞0，
令m=n=0，則f（0）=f（0）•f（0），f（0）=1；
（2）f（x）在R上是減函數(shù)，理由如下：
令x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，由于x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1．
則0＜f（x₂-x₁）＜1，
f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）•f（x₂-x₁）＜f（x₁）．
故f（x）在R上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性及證明，注意定義的運(yùn)用，屬于中檔題．