Question

已知向量

m

=(sinωx，-

3

cosωx)，

n

=(sinωx，cos(ωx+

π

2

))（ω＞0），且函數(shù)f(x)=

m

•

n

的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若方程f（x）-a=0在[0，

π

2

]上有且只有一個實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式以及二倍角和輔助角公式，求出函數(shù)f（x）的解析式，進而根據(jù)其最小正周期為π，求出ω的值；
（Ⅱ）先把問題轉化為函數(shù)y=sin(2x-

π

6

)的圖象與直線y=a-

1

2

只有一個交點，結合圖象即可得到結論．

解答：解：∵f(x)=sin2ωx+

3

cosωxsinωx=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx=sin(2ωx-

π

6

)+

1

2

（Ⅰ）由已知T=

2π

2ω

=π，即有ω=1；                           （6分）
（Ⅱ）由已知方程sin(2x-

π

6

)=a-

1

2

在[0，

π

2

]上有且只有一個實數(shù)根，
等價于函數(shù)y=sin(2x-

π

6

)的圖象與直線y=a-

1

2

只有一個交點，
畫圖可得，-

1

2

≤a-

1

2

＜

1

2

或者a-

1

2

=1，即有0≤a＜1或a=

3

2

．（12分）

點評：本題考查的知識點是三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的定義域和值域，熟練掌握三角函數(shù)的性質，是解答本題的關鍵．