Question

設(shè)函數(shù)．

（1）當(dāng)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求的最小值；

（2）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（3）若對(duì)任意恒成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；（3）

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，令，得，將定義域分段并研究導(dǎo)函數(shù)在每段的符號(hào)，判斷函數(shù)大致圖象，進(jìn)而求得最小值；（2）由已知得則，進(jìn)而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，或者參變分離為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的形狀，研究直線與其交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題即可；（3）通過(guò)對(duì)不等式恒等變形，研究其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)，變形為，觀察其結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)在單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題處理．

試題解析：（1）由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，，則， 1分

∴當(dāng)在上單調(diào)遞減，

當(dāng)，在（）上單調(diào)遞增， 2分

∴時(shí)，取得極小值

∴的極小值為2． 3分

（2）由題設(shè)

令，得 4分

設(shè)

則 5分

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減。 6分

∴是的唯一極值點(diǎn)，且是極大直點(diǎn)，因此也是的最大值點(diǎn)，

∴的最大值為 7分

又，結(jié)合的圖像，可知

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

④當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)。 8分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)； 9分

（3）對(duì)任意的恒成立，

等價(jià)于恒成立（*） 10分

設(shè)

∴（*）等價(jià)于在上單調(diào)遞減． 11分

由在恒成立． 12分

得恒成立， 13分

∴僅在時(shí)成立），

∴的取值范圍是 14分

考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、極值；2、函數(shù)的零點(diǎn)；3、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．