Question

若一個數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別都成等比數(shù)列，則稱該數(shù)列為“亞等比數(shù)列”，已知數(shù)列{a_n}：a_n=2 [

n

2

]，n∈N^*其中[x]為x的整數(shù)部分，如[5.9]=5，[-1.3]=-2
（1）求證：{a_n}為“亞等比數(shù)列”，并寫出通項公式；
（2）求{a_n}的前2014項和S₂₀₁₄．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）根據(jù)條件求數(shù)列的通項公式，利用{a_n}為“亞等比數(shù)列的條件分別證明奇數(shù)項和偶數(shù)項是等比數(shù)列即可得，
（2）利用分組求和和將數(shù)列分為奇數(shù)項和偶數(shù)項，然后利用等比數(shù)列的求和公式即可求{a_n}的前2014項和S₂₀₁₄．

解答： 解：（1）若n為偶數(shù)，不妨設n=2k，k∈Z，
則[

n

2

]=[k]=k=

n

2

，此時a_n=2 [

n

2

]=2

n

2

．
此時

an+2

an

=

2 n+2 2

2 n 2

=2為常數(shù)，此時數(shù)列{a_n}是公比為2，首項a₂=2的等比數(shù)列．
若n為奇數(shù)，不妨設n=2k-1，
則[

n

2

]=[

2k-1

2

]=k-1=

n+1

2

-1=

n-1

2

，則a_n=2[

n

2

]=2

n-1

2

．
此時

an+2

an

=

2 n+2-1 2

2 n-1 2

=2為常數(shù)，此時數(shù)列{a_n}是公比為2，首項a₁=1的等比數(shù)列．
即{a_n}為“亞等比數(shù)列，且a_n=

2 n-1 2 ，n=2k-1，k∈Z 2 n 2 ，n=2k，k∈Z

．
（2）∵a_n=

2 n-1 2 ，n=2k-1，k∈Z 2 n 2 ，n=2k，k∈Z

，奇數(shù)項是公比為2，首項a₁=1的等比數(shù)列，
偶數(shù)項是公比為2，首項a₂=2的等比數(shù)列，
∴{a_n}的前2014項和S₂₀₁₄=S_奇+S_偶=

1×(1-21007)

1-2

+

2×(1-21007)

1-2

=3•2¹⁰⁰⁷-3．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的通項公式以及數(shù)列求和，根據(jù)定義求出數(shù)列的通項公式是解決本題的關鍵．