Question

已知直線l經(jīng)過點P(

1

2

，1)，傾斜角α=

π

6

，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=

2

cos(θ-

π

4

)
（1）寫出直線l的參數(shù)方程，并把圓C的方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)l與圓C相交于兩點A，B，求點P到A，B兩點的距離之積．

Answer 1

分析：（1）由已知中直線l經(jīng)過點P(

1

2

，1)，傾斜角α=

π

6

，利用直線參數(shù)方程的定義，我們易得到直線l的參數(shù)方程，再由圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=

2

cos(θ-

π

4

)，利用兩角差的余弦公式，我們可得ρ=cosθ+sinθ，進而即可得到圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）聯(lián)立直線方程和圓的方程，我們可以得到一個關(guān)于t的方程，由于|t|表示P點到A，B的距離，故點P到A，B兩點的距離之積為|t₁•t₂|，根據(jù)韋達(dá)定理，即可得到答案．

解答：解：（1）直線l的參數(shù)方程為

x= 1 2 +tcos π 6 y=1+tsin π 6

即

x= 1 2 + 3 2 t y=1+ 1 2 t

（t為參數(shù)）…（2分）
由ρ=

2

cos(θ-

π

4

)得ρ=cosθ+sinθ
所以ρ²=ρcosθ+ρsinθ…（4分）
得(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=

1

2

…（6分）
（2）把

x= 1 2 + 3 2 t y=1+ 1 2 t

代入(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=

1

2

得t2+

1

2

t-

1

4

=0…（8分）|PA|•|PB|=|t1t2|=

1

4

…（10分）

點評：本題考查的知識點是直線與圓的方程的應(yīng)用，點的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，其中準(zhǔn)確理解直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，極坐標(biāo)方程中ρ，θ的幾何意義，是解答本題的關(guān)鍵．