Question

已知定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060506033119071143/SYS201506050604012667879529_ST/SYS201506050604012667879529_ST.001.png">的函數(shù)是奇函數(shù)．

（1）求的值；

（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求其值域；

（3）解關(guān)于的不等式．

Answer 1

（1）；（2）在上為減函數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060506033119071143/SYS201506050604012667879529_DA/SYS201506050604012667879529_DA.004.png">；（3）.

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060506033119071143/SYS201506050604012667879529_DA/SYS201506050604012667879529_DA.006.png">為奇函數(shù)，所以代入中求得：；（2）

（2）根據(jù)（1）得到的解析式，再利用求導(dǎo)（或定義法）證明其單調(diào)性，進(jìn)一步求得其值域；（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060506033119071143/SYS201506050604012667879529_DA/SYS201506050604012667879529_DA.006.png">是奇函數(shù)，等價于進(jìn)一步根據(jù)單調(diào)性求得不等式的解.

試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060506033119071143/SYS201506050604012667879529_DA/SYS201506050604012667879529_DA.002.png">是奇函數(shù)， ，解得:．；經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時，函數(shù)是奇函數(shù)．（若不檢驗(yàn)，則扣１分）

（2）由（1）知

由上式易知在上為減函數(shù)（此處可用定義或?qū)��?shù)法證明函數(shù)在上是減函數(shù)）．

由于函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060506033119071143/SYS201506050604012667879529_DA/SYS201506050604012667879529_DA.015.png">，所以，因此，所以，函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060506033119071143/SYS201506050604012667879529_DA/SYS201506050604012667879529_DA.019.png">

（3）因是奇函數(shù)，從而不等式等價于

因是減函數(shù)，由上式推得 ，

即解不等式可得.

考點(diǎn)：1.函數(shù)的奇偶性；2.函數(shù)的單調(diào)性及值域；3.解不等式.