【題目】已知函數(shù)(
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)的零點(diǎn)
,以及曲線
在
處的切線方程;
(2)設(shè)方程(
)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
,
,求證:
.
【答案】(1),
(2)證明見解析
【解析】
(1)由求得函數(shù)零點(diǎn),由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線方程;
(2)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性,只有在時(shí),
,因此
,考查(1)中切線,先證明
(
),只要構(gòu)造函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,易得證,方程
的解為
,
(不妨設(shè)
,則
),要證不等式變形為證明
,即證
,由
,
,構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)可證.
(1)由,得
,∴函數(shù)的零點(diǎn)是
.
,
,
.
曲線在
處的切線方程為
.
,
,
∴曲線在
處的切線方程為
(2).
當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
.
∴的單調(diào)遞增區(qū)間為
,單調(diào)遞減區(qū)間為
.
由(1)知,當(dāng)或
時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
.
下面證明:當(dāng)時(shí),
.
當(dāng)時(shí),
.
易知,在
上單調(diào)遞增,
而,
∴對(duì)
恒成立,
∴當(dāng)時(shí),
.
由得
.記
.
不妨設(shè),則
,
∴.
要證,只要證
,即證
.
又∵,∴只要證
,即
.
∵,即證
.
令.
當(dāng)時(shí),
,
為單調(diào)遞減函數(shù);
當(dāng)時(shí),
,
為單調(diào)遞增函數(shù).
∴,∴
,
∴
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,已知
底面
,
,
,
,
,
是
中點(diǎn).
(1)求證:平面平面
;
(2)若四棱錐的體積為1,求點(diǎn)
到平面
的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.
(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值;
(2)求二面角B-A1D-A的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),
軸正半軸為極軸的建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求曲線的普通方程;
(2)若點(diǎn)與點(diǎn)
分別為曲線
動(dòng)點(diǎn),求
的最小值,并求此時(shí)的
點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),
軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線
的方程為
.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)曲線與直線
交于點(diǎn)
,點(diǎn)
的坐標(biāo)為(3,1),求
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)求直線與曲線
相切時(shí),切點(diǎn)
的坐標(biāo);
(2)當(dāng)時(shí),
恒成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,點(diǎn)P,Q分別為A1B1,BC的中點(diǎn).
(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值;
(2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,P為棱C1D1的中點(diǎn),Q為棱BB1上的點(diǎn),且BQ=λBB1(λ≠0).
(1)若λ=,求AP與AQ所成角的余弦值;
(2)若直線AA1與平面APQ所成的角為45°,求實(shí)數(shù)λ的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(Ⅰ) 求曲線在點(diǎn)
處的切線方程;
(Ⅱ) 討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅲ) 設(shè),當(dāng)
時(shí),若對(duì)任意的
,存在
,使得
≥
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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