Question

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M,N.

(1)求橢圓C的方程;

(2)當△AMN的面積為時,求k的值.

 

Answer 1

【答案】

(1) +=1 (2) k=±1

【解析】

解:(1)由題設知,橢圓焦點在x軸上,

∴a=2.

由e==得c=,

∴b2=a2-c2=2.

∴橢圓C的方程為+=1.

(2)由消去y,

整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.

設M(x1,y1),N(x2,y2).

則Δ=(-4k2)2-4(1+2k2)(2k2-4)>0(※)

且x1+x2=,x1·x2=,

∴|MN|=

=

=

=

=

設點A(2,0)到直線y=k(x-1)的距離為d,

則d=.

∴S△AMN=|MN|·d==,

解得k=±1,

代入(※)式成立,∴k=±1.