Question

已知函數f（x）=a^|x|+2a^x（a＞1），x∈[-2，+∞），若f（x）的最小值與a無關，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：由題意，可分區(qū)間研究函數的最小值，當x∈[0，+∞）時與當x∈[-2，0）時，分別解出兩個區(qū)間上函數的最小值，再由f（x）的最小值與a無關，確定出a的取值范圍

解答：解：當x∈[0，+∞）時，f（x）=a^x+2a^x=3a^x．
∵a＞1，∴f（x）_min=f（0）=3．
當x∈[-2，0）時，f（x）=

1

ax

+2a^x．
∵a＞1，∴

1

a2

≤a^x＜1．
∵

1

ax

+2a^x≥2

2

，當且僅當

1

ax

=2a^x，即a^x=

2

2

時等號成立．
∴若

1

a2

＞

2

2

，即1＜a＜

4	2

，則f（x）_min=f（

1

a2

）=a²+

2

a2

，
若

1

a2

≤

2

2

，即a≥

4	2

，則f（x）_min=2

2

．
又∵a²+

2

a2

＜3（否則，由a²+

2

a2

≥3，得（a²-1）（a²-2）＞0，又a＞1，所以a²＞2，即a＞

2

，
即a＞

2

，這與1＜a＜

4	2

矛盾），
∴當1＜a＜

4	2

時，f（x）_min=a²+

2

a2

；
當a≥

4	2

時，f（x）_min=2

2

．
故當f（x）的最小值與a無關時，a的取值范圍是[

4	2

，+∞）．

點評：本題以指數型函數為載體，考查函數的最小值，分類討論的思想，分區(qū)間研究函數的最小值是解題的關鍵，解答時要認真審題，謹慎作答，本題運算量較大，易出現(xiàn)計算錯誤．