Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≤0時，f（x）=x²+2x． 
（Ⅰ）現(xiàn)已畫出函數(shù)f（x）在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請補出完整函數(shù)f（x）的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)f（x）的增區(qū)間；
（Ⅱ）寫出函數(shù)f（x）的解析式和值域；
（Ⅲ）若f（a+1）=（a+1）（a-1），求a的取值集合．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，由已知中數(shù)f（x）在y軸左側(cè)的圖象，可得完整函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象從左到右上升的部分對應(yīng)函數(shù)的增區(qū)間，可得函數(shù)f（x）的增區(qū)間；
（Ⅱ）由當x≤0時，f（x）=x²+2x，x＞0時，-x＜0，由偶函數(shù)的定義，可得x＞0時的函數(shù)解析式，綜合兩個情況可得函數(shù)的解析式
（III）結(jié)合（II）中函數(shù)的解析式，結(jié)合f（a+1）=（a+1）（a-1），可構(gòu)造關(guān)于a的方程組，進而結(jié)合絕對值的性質(zhì)，求出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，可得函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：

由圖象可知函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間是（-1，0），（1，+∞）（4分）
（Ⅱ）∵當x≤0時，f（x）=x²+2x
∴當x＞0時，-x＜0，
則f（-x）=（-x）²+2•（-x）=x²-2x
又∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x）=x²-2x
綜上，當x∈R時，f（x）=x²-2|x|…（6分）
由圖象可得函數(shù)的值域為[-1，+∞）…（8分）
（Ⅲ）由f（a+1）=（a+1）（a-1），及f（x）=x²-2|x|得
（a+1）²-2|a+1|=（a+1）（a-1），
即|a+1|=a+1
即a+1≥0
解得a≥-1
故a的取值集合是[-1，+∞）…（12分）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)解析式的求法，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的值域，函數(shù)的綜合應(yīng)用，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的簡單綜合問題，難度中檔．