Question

20．在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且PD=AB=1，$\overrightarrow{BG}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BD}$，則$\overrightarrow{PG}$與底面ABCD的夾角的正弦值為（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{34}}{17}$
• B． $\frac{3\sqrt{17}}{17}$
• C． -$\frac{2\sqrt{34}}{17}$
• D． -$\frac{3\sqrt{17}}{17}$

Answer 1

分析 由已知條件分別求出|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{GD}$|=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，PG=$\frac{\sqrt{17}}{3}$，由此能求出$\overrightarrow{PG}$與底面ABCD的夾角的正弦值．

解答 解：∵在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且PD=AB=1，$\overrightarrow{BG}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BD}$，
∴|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{GD}$|=$\frac{2}{3}|\overrightarrow{BD}|$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
PG=$\sqrt{G{D}^{2}+P{D}^{2}}$=$\sqrt{\frac{8}{9}+1}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$，
設(shè)$\overrightarrow{PG}$與底面ABCD的夾角為θ，
則sinθ=sin∠PGD=$\frac{1}{\frac{\sqrt{17}}{3}}$=$\frac{3\sqrt{17}}{17}$．
∴$\overrightarrow{PG}$與底面ABCD的夾角的正弦值為$\frac{3\sqrt{17}}{17}$．
故選：B．

點評 本題考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．