Question

設(shè)[x]表示數(shù)x的整數(shù)部分（即小于等于x的最大整數(shù)），例如[3.15]=3，[0.7]=0，那么函數(shù)y=[

x+1

2

]-[

x

2

]，(x∈R)的值域?yàn)?!--BA-->

{0，1}

．

Answer 1

分析：由題設(shè)中的定義，可對(duì)x分區(qū)間討論，設(shè)m表示整數(shù)．①當(dāng)x=2m時(shí)，顯然 [

x+1

2

]=m，[

x

2

]=m．所以y=0．②當(dāng)x=2m+1時(shí)，[

x+1

2

]=m+1，[

x

2

]=m，所以y=1．③當(dāng)2m＜x＜2m+1時(shí)，[

x

2

]=m，[

x+1

2

]=m，所以y=0．④當(dāng)2m+1＜x＜2m+2時(shí)，此時(shí) [

x

2

]=m，[

x+1

2

]=m+1，所以y=1，綜合此四類即可得到函數(shù)的值域

解答：解：設(shè)m表示整數(shù)．
①當(dāng)x=2m時(shí)，
[

x+1

2

]=[m+0.5]=m，[

x

2

]=[m]=m．
∴此時(shí)恒有y=0．
②當(dāng)x=2m+1時(shí)，
[

x+1

2

]=[m+1]=m+1，[

x

2

]=[m+0.5]=m．
∴此時(shí)恒有y=1．
③當(dāng)2m＜x＜2m+1時(shí)，
2m+1＜x+1＜2m+2
∴m＜

x

2

＜m+0.5
  m+0.5＜

x+1

2

＜m+1
∴[

x

2

]=m，[

x+1

2

]=m
∴此時(shí)恒有y=0
④當(dāng)2m+1＜x＜2m+2時(shí)，
  2m+2＜x+1＜2m+3
∴m+0.5＜

x

2

＜m+1
  m+1＜

x+1

2

＜m+1.5
∴此時(shí) [

x

2

]=m，[

x+1

2

]=m+1
∴此時(shí)恒有y=1．
綜上可知，y∈{0，1}．
故答案為{0，1}．

點(diǎn)評(píng)：此題是新定義一個(gè)函數(shù)，根據(jù)所給的規(guī)則求函數(shù)的值域，求解的關(guān)鍵是理解所給的定義，一般從函數(shù)的解析式入手，要找出準(zhǔn)確的切入點(diǎn)，理解[x]表示數(shù)x的整數(shù)部分，考察了分析理解，判斷推理的能力及分類討論的思想