Question

（2012•青島二模）已知函數(shù)f(x)=cosx+

1

2

x，x∈[-

π

2

，

π

2

]，sinx0=

1

2

，x0∈[-

π

2

，

π

2

]．那么下面命題中真命題的序號是（　�。�
①f（x）的最大值為f（x₀）
②f（x）的最小值為f（x₀）
③f（x）在[-

π

2

，x0]上是增函數(shù)      
④f（x）在[x0，

π

2

]上是增函數(shù)．

A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

Answer 1

分析：由于sinx0=

1

2

，x0∈[-

π

2

，

π

2

]，則可求出x₀，再利用導(dǎo)函數(shù)即可求出原函數(shù)的最值及其在[x0，

π

2

]和[-

π

2

，x0]上的單調(diào)性．

解答：解：因?yàn)?span id="xl59kcl" class="MathJye">sinx0=

1

2

，x0∈[-

π

2

，

π

2

]，所以x0=

π

6

．
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=

1

2

-sinx，
由f′(x)=

1

2

-sinx＞0，解得sinx＜

1

2

，
又因?yàn)?span id="lcjcijq" class="MathJye">x∈[-

π

2

，

π

2

]，所以-

π

2

＜x＜

π

6

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′(x)=

1

2

-sinx＜0，解得sinx＞

1

2

，
又因?yàn)?span id="iayyv4b" class="MathJye">x∈[-

π

2

，

π

2

]，所以

π

6

＜x＜

π

2

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以①③正確，
故答案選A．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是，判斷命題真假，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，我們要對四個(gè)結(jié)論逐一進(jìn)行判斷，可以得到正確的結(jié)論．注意導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用為高考必考知識點(diǎn)．