已知M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)（不含邊界），且
AB
.
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為x，y，z，記f(x，y，z)=
1
x
+
4
y
+
9
z
則f（x，y，z）的最小值是
36
36
．
分析：先由條件求得AB•AC=4，再由 S△ABC=
1
2
AB•AC•sin30°=1，可得x+y+z=1． 再由f（x，y，z）=
1
x
+
4
y
+
9
z
 
=（
1
x
+
4
y
+
9
z
）（x+y+z），利用基本不等式求得它的最小值．
解答：解：∵
AB
.
AC
=2
3
，∠BAC=30°，∴AB•AC•cos30°=2
3
，∴AB•AC=4．
∵S△ABC=
1
2
AB•AC•sin30°=1=x+y+z．
∴f（x，y，z）=
1
x
+
4
y
+
9
z
=（
1
x
+
4
y
+
9
z
）（x+y+z）
=1+4+9++
4x
y
+
9x
z
+
y
x
+
9y
z
+
z
x
+
4z
y
=（
4x
y
+
y
x
）+（
9x
z
+
z
x
）+（
4z
y
+
9y
z
 ）
≥14+4+6+12=36，即f(x，y，z)=
1
x
+
4
y
+
9
z
 的最小值為36，
故答案為 36．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為
1
2
，x，y，則
1
x
+
4
y
的最小值是（　　）
A、20B、18C、16D、9

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)（不含邊界），且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為x，y，z．
（1）x+y+z=
 
；
（2）定義f（x，y，z）=
1
x
+
4
y
+
9
z
，則f（x，y，z）的最小值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面積分別為
1
2
，x，y，則
1
x
+
4
y
的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°．定義：f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分別為△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f（M）=（x，y，
1
2
），則
1
2x
+
2
y
的最小值為
9
9
，此時(shí)f（M）=（
(
1
6
，
1
3
，
1
2
)
(
1
6
，
1
3
，
1
2
)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)（不含邊界），且
AB
.
AC
=2
3
∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為x，y，z，則
1
x+y
+
4
z
的最小值是
9
9
．

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