【題目】已知函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù),且f(2)=
(1)求實(shí)數(shù)m和n的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)在(﹣∞,0)上的單調(diào)性,并加以證明.

【答案】
(1)解:∵f(x)是奇函數(shù),∴f(﹣x)=﹣f(x),

=﹣ =

比較得n=﹣n,n=0.

又f(2)= ,∴ = ,解得m=2.

即實(shí)數(shù)m和n的值分別是2和0


(2)解:函數(shù)f(x)在(﹣∞,﹣1]上為增函數(shù),在(﹣1,0)上為減函數(shù).

證明如下:由(1)可知f(x)= = +

設(shè)x1<x2<0,

則f(x1)﹣f(x2)= (x1﹣x2

= (x1﹣x2

當(dāng)x1<x2≤﹣1時(shí),x1﹣x2<0,x1x2>0,x1x2﹣1>0,

∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),

∴函數(shù)f(x)在(﹣∞,﹣1]上為增函數(shù);

當(dāng)﹣1<x1<x2<0時(shí),

x1﹣x2<0,x1x2>0,x1x2﹣1<0,

∴f(x1)﹣f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),

∴函數(shù)f(x)在(﹣1,0)上為減函數(shù)


【解析】(1)利用函數(shù)是奇函數(shù)的定義,列出方程,比較求解n,利用f(2)= ,求解m即可.(2)利用函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷求解即可.
【考點(diǎn)精析】掌握奇偶性與單調(diào)性的綜合是解答本題的根本,需要知道奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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