Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-

1

2

x-

3

4

（a＞0），若在任意長度為2的閉區(qū)間上總存在兩點x₁、x₂，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥

1

4

成立，則a的最小值為

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：要使函數(shù)f（x）在任意長度為2的閉區(qū)間上總存在兩點x₁，x₂，使|f（x₁）-f（x₂）|≥

1

4

成立，只需要|f（

1

4a

-1）-f（

1

4a

）|≥

1

4

恒成立，從而可求實數(shù)a的最小值

解答： 解：要使函數(shù)f（x）=ax²-

1

2

x-

3

4

（a＞0）在任意長度為2的閉區(qū)間上總存在兩點x₁，x₂，使|f（x₁）-f（x₂）|≥

1

4

成立，
只需要|f（

1

4a

-1）-f（

1

4a

）|≥

1

4

恒成立
∵f（x）=ax²-

1

2

x-

3

4

=a（x-

1

4a

）²-

1

16a

-

3

4

，
∴|f（

1

4a

-1）-f（

1

4a

）|=|a|≥

1

4

∵a＞0
∴a≥

1

4

∴實數(shù)a的最小值為

1

4

故答案為：

1

4

點評：本題以新定義為素材，考查對新定義的理解，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是將問題轉化為恒成立．