Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足

S9

9

-a₂=6，其中s_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，若存在兩項a_m、a_n使得a_m+a_n=2a₁+14，則

1

m

+

4

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì),基本不等式

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，運用求和公式，可得d=2，再由通項公式可得m+n=9，再由

1

m

+

4

n

=

1

9

（m+n）（

1

m

+

4

n

），化簡整理，再由基本不等式即可得到最小值．

解答： 解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
則

S9

9

-a₂=6，

9a1+36d

9

-a₁-d=6，
解得d=2，
由于a_m+a_n=2a₁+14，
則a₁+2（m-1）+a₁+2（n-1）=2a₁+14，
則有m+n=9，
則

1

m

+

4

n

=

1

9

（m+n）（

1

m

+

4

n

）=

1

9

（5+

n

m

+

4m

n

）
≥

1

9

（5+2

n m • 4m n

）=1，
當(dāng)且僅當(dāng)n=2m=6時，取得最小值，且為1．
故答案為：1．

點評：本題考查等差數(shù)列的通項和求和公式，考查基本不等式的運用：求最值，注意1的代換，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．