Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₂=7，a₅=16，數(shù)列{b_n}是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，且b₁=2，點(diǎn)（log₂b_n，log₂b_n+1）在直線y=x+1上．
（1）求{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)的和S_n．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知

7=a1+d 16=a1+4d

，所以a_n=3n+1，再由點(diǎn)（log₂b_n，log₂b_n+1）在直線y=x+1上，知log₂b_n+1=log₂b_n+1，所以log2

bn+1

bn

=1，由此能導(dǎo)出b_n．
（2）由c_n=a_nb_n得c_n=（3n+1）2ⁿ，S_n=4×2+7×2²+…+（3n+1）2ⁿ，然后由錯(cuò)位相減法能求出S_n=4+（3n-2）2ⁿ⁺¹．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₂=7，a₅=16，
∴

7=a1+d 16=a1+4d

，∴a₁=4，d=3，∴a_n=3n+1（3分）
又點(diǎn)（log₂b_n，log₂b_n+1）在直線y=x+1上，∴l(xiāng)og₂b_n+1=log₂b_n+1，
∴l(xiāng)og₂b_n+1-log₂b_n=1，log2

bn+1

bn

=1，b_n+1=2b_n，又b₁=2，∴b_n=2ⁿ（6分）
（2）由c_n=a_nb_n得c_n=（3n+1）2ⁿ（7分）
∴S_n=4×2+7×2²++（3n+1）2ⁿ①
2S_n=4×2²+7×2³++（3n+1）2ⁿ⁺¹②
①-②得-S_n=4×2+3×2²++3×2ⁿ-（3n+1）2ⁿ⁺¹（11分）
∴-S_n=8+3×2²（2^n-1-1）-（3n+1）2ⁿ⁺¹=-4-（3n-2）2ⁿ⁺¹
∴S_n=4+（3n-2）2ⁿ⁺¹（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意通項(xiàng)公式的求法和錯(cuò)位相減求和法的合理運(yùn)用．