（本小題滿分14分）

如圖5所示，在三棱錐中，，平面平面，于點(diǎn)， ，，．

（1）證明△為直角三角形；

（2）求直線與平面所成角的正弦值

 

【答案】

 

（1）證明1：因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image001.png">平面，平面平面， 平面，，

所以平面．

記邊上的中點(diǎn)為，在△中，，所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image014.png">，，所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image008.png">，所以△為直角三角形．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image019.png">，，[來源:ZXXK]

所以．

連接，在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image025.png">，，

所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image008.png">平面，平面，所以．

在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image019.png">，，

所以．

在中，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image033.png">，，，

所以．

所以為直角三角形．

證明2：因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image001.png">平面，平面平面， 平面，，

所以平面．

記邊上的中點(diǎn)為，在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image012.png">，所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image014.png">，，所以．

連接，在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image038.png">，，，

所以．

在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image020.png">，，，

所以，所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image008.png">平面，平面，

所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image044.png">，所以平面．

    因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image046.png">平面，所以．

所以為直角三角形．

（2）解法1：過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，連，

則為直線與平面所成的角．

由（1）知，△的面積．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image019.png">，所以．

由（1）知為直角三角形，，，

所以△的面積．

因?yàn)槿忮F與三棱錐的體積相等，即，

即，所以．

在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image019.png">，，

所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image067.png">．

所以直線與平面所成角的正弦值為．

解法2：過點(diǎn)作，設(shè)，

則與平面所成的角等于與平面所成的角．

由（1）知，，且，

所以平面．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image042.png">平面，

所以平面平面．

過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，

則平面．

所以為直線與平面所成的角．

在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image019.png">，，

所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image070.png">，所以，即，所以．

由（1）知，，且，

所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image085.png">，

所以直線與平面所成角的正弦值為．

解法3：延長至點(diǎn)，使得，連接、，

在△中，，

所以，即．

在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image035.png">，，，

所以，

所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image100.png">，

所以平面．

過點(diǎn)作于點(diǎn)，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image106.png">平面，

所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image108.png">，

所以平面．

所以為直線與平面所成的角．

由（1）知，，

所以．

在△中，點(diǎn)、分別為邊、的中點(diǎn)，

所以．

在△中，，，，

所以，即．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image127.png">．

所以直線與平面所成角的正弦值為．

解法4：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在的直線分別為軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，

  

 則，，，．

于是，，．

設(shè)平面的法向量為，

則

即

取，則，．

所以平面的一個(gè)法向量為．

設(shè)直線與平面所成的角為，

則．

所以直線與平面所成角的正弦值為．

若第（1）、（2）問都用向量法求解，給分如下：

（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在的直線分別為軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，

    則，，．

于是，．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260216532459485227_DA.files/image152.png">，

所以．

所以．

所以為直角三角形．

（2）由（1）可得，．

于是，，．

設(shè)平面的法向量為，

則即

取，則，．

所以平面的一個(gè)法向量為．

設(shè)直線與平面所成的角為，

則．

所以直線與平面所成角的正弦值為．

 

【解析】略

 

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2
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