Question

已知橢圓E的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且橢圓過點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），C（1，

3

2

）三點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點(diǎn)D為橢圓E上不同于A，B的任意一點(diǎn)，F(xiàn)（-1，0），H（1，0），當(dāng)△DFH內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)；
（3）若直線l：y=k（x+4），（k≠0）與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P，試問直線PN能否過定點(diǎn)F（-1，0），若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可設(shè)橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由a=2及把點(diǎn)C（1，

3

2

）代入橢圓方程即可得出；
（2）設(shè)△DFH內(nèi)切圓的半徑為r，則S_△DFH=

r

2

(|DF|+|DH|+|FH|)=

1

2

|FH|•|yD|．利用橢圓的定義可得|DF|+|DH|=2a=4，可得r=

1

3

|yD|，當(dāng)且僅當(dāng)D為橢圓的短軸的端點(diǎn)時(shí)，r取得最大值．
（3）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)M（x₁，y₁）N(x2，

y

2

)，只要證明k_MF+k_NF=0即可．

解答：解：（1）由題意可設(shè)橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），可得

a=2 1 a2 + 9 4b2 =1

，解得

a=2 b2=3

．
∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)△DFH內(nèi)切圓的半徑為r，則S_△DFH=

r

2

(|DF|+|DH|+|FH|)=

1

2

|FH|•|yD|．
∵|DF|+|DH|=2a=4，|FH|=2，
∴r=

1

3

|yD|，當(dāng)且僅當(dāng)yD=±

3

即D為橢圓的短軸的端點(diǎn)時(shí)，r=

3

3

取得最大值．
此時(shí)內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為(0，±

3

3

)．
（3）聯(lián)立

y=k(x+4) x2 4 + y2 3 =1

消去y得：（3+4k²）x²+32k²x+64k²-12=0．
∴x1+x2=-

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

．
設(shè)M（x₁，y₁）N(x2，

y

2

)，k_MF+k_NF=

y1

x1+1

+

y2

x2+1

=k•

(x2+4)(x1+1)+(x1+4)(x2+1)

(x1+1)(x2+1)

=k

2x1x2+5(x1+x2)+8

(x1+1)(x2+1)

=0
直線PN能否過定點(diǎn)F（-1，0）

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式、三角形的內(nèi)切圓與三角形的面積計(jì)算公式等是解題的關(guān)鍵．