在△ABC中，已知
AB
•
AC
=1，
AB
•
BC
=-2．
（1）求AB邊的長度；
（2）證明：tanA=2tanB；
（3）若|
AC
|=2，求|
BC
|．
分析：（1）由已知可得
AB
•
BC
=
AB
•(
AC
-
AB
)=
AB
•
AC
-|
AB
|2=-2及
AB
•
AC
=1可求AB
（2）由已知可得|
AB
|•|
AC
|  cosA=1，|
AB
|•|
BC
|cos(π-B)=-2結(jié)合正弦定理
|
AC
|
|
BC
|
=
sinB
sinA
從而可得
sinBcosA
sinAcosB
=
tanB
tanA
=
1
2
即證
（3）由|
AC
|=2，及（2）可求cosA=
1
|
AB
||
AC
|
=
1
2
3
=
3
6

再由余弦定理得|
BC
|2=|
AB
|2+|
AC
|2-2|
AB
||
AC
|cosA=3+4- 4
3
×
3
6
=5可求|
BC
|．
解答：解：（1）∵
BC
=
AC
-
AB

∴
AB
•
BC
=
AB
•(
AC
-
AB
)=
AB
•
AC
-|
AB
|2=-2
∵
AB
•
AC
=1
∴|
AB
|2=3，|
AB
|=
3
即AB邊的長度為
3
（3分）
（2）由已知
AB
•
AC
=1，
AB
•
BC
=-2．
可得|
AB
|•|
AC
|  cosA=1①
|
AB
|•|
BC
|cos(π-B)=-2即|
AB
||
BC
|cosB=2②
由①②得，
|
AC
|cosA
|
BC
|cosB
=
1
2

由正弦定理得
|
AC
|
|
BC
|
=
sinB
sinA

∴
sinBcosA
sinAcosB
=
tanB
tanA
=
1
2

∴tanA=2tanB（8分）
（3）∵|
AC
|=2，由（2）中①得cosA=
1
|
AB
||
AC
|
=
1
2
3
=
3
6

由余弦定理得|
BC
|2=|
AB
|2+|
AC
|2-2|
AB
||
AC
|cosA=3+4- 4
3
×
3
6
=5∴|
BC
|=
5
（12分）
點評：本題以向量的數(shù)量積為載體重在考查向量的基本運算，重點還運用了解三角形的正弦定理、余弦定理等解三角形的基本工具求解三角形的相關(guān)量，需要考試具備綜合運用知識解決問題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求tg（
A
2
）+
3
tg（
A
2
）tg（
C
2
）+tg（
C
2
）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知A=45°，a=2，b=
2
，則B等于（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知a=
3
，b=
2
，1+2cos（B+C）=0，求：
（1）角A，B； 
（2）求BC邊上的高．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知A=60°，
AB
•
AC
=1，則△ABC的面積為
3
2
3
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知a=1，b=2，cosC=
34
．
（1）求AB的長；
（2）求sinA的值．

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