Question

13．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知3cosBcosC+1=3sinBsinC+cos2A．
（1）求A的大��；
（2）若$a=2\sqrt{3}$，求b+2c的最大值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得2cos²A+3cosA-2=0，進而解得cosA的值，結(jié)合范圍A∈（0，π），可求A的值．
（2）法一：由余弦定理，可得：b²+c²-bc=12，結(jié)合基本不等式可求$\frac{3}{28}$（b+2c）²≤12，進而得解b+2c 的最大值．
法二：設(shè)△ABC 的外接圓半徑為R，則由正弦定理得：$2R=\frac{a}{sinA}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=4$，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得b+2c=$4\sqrt{7}sin（A+φ）（0＜φ＜\frac{π}{2}，tanφ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求最大值．

解答 解：（1）由于3cosBcosC+1=3sinBsinC+cos2A，
則3（cosBcosC-sinBsinC）=cos2A-1，
從而3cos（B+C）=2cos²A-2，
故2cos²A+3cosA-2=0．
即（2cosA-1）（cosA+2）=0，
故$cosA=\frac{1}{2}$ 或cosA=-2 （舍去），
由于A∈（0，π），
從而$A=\frac{π}{3}$．
（2）法一：由余弦定理b²+c²-2bccosA=a²，
可得：b²+c²-bc=12，
可得：（b+2c）²-12=3c²+5bc=$\frac{1}{7}$×7c（3c+5b）≤$\frac{1}{7}$×$\frac{（5b+10c）^{2}}{4}$=$\frac{25}{28}$（b+2c）²，
可得：$\frac{3}{28}$（b+2c）²≤12，即：b+2c$≤4\sqrt{7}$．
當(dāng)且僅當(dāng)4c=5b 取等號，從而b+2c 的最大值為$4\sqrt{7}$．
法二：設(shè)△ABC 的外接圓半徑為R，則由正弦定理得：$2R=\frac{a}{sinA}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=4$，
從而$b+2c=2R（sinA+2sinC）=4sinA+8sin（\frac{2π}{3}-A）=4sinA+8（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA）$
=$8sinA+4\sqrt{3}cosA=4（2sinA+\sqrt{3}cosA）=4\sqrt{7}（sinA•\frac{2}{{\sqrt{7}}}+cosA•\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}}}）$
=$4\sqrt{7}sin（A+φ）（0＜φ＜\frac{π}{2}，tanφ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
故b+2c的最大值為$4\sqrt{7}$，當(dāng)且僅當(dāng)$cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}}}$取等號，從而b+2c的最大值為$4\sqrt{7}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理，基本不等式，正弦定理，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．