Question

已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，觀察程序框圖，當(dāng)k=2時，S=

2

3

；當(dāng)k=3時，S=

3

4

．
（1）試求數(shù)列{a_n}的通項；
（2）設(shè)若[x]表示不大于x的最大整數(shù)（如[2.10]=2，[0.9]=0），
求T=[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log₂（2 an-1）]+[log₂（2 an）]關(guān)于n的表達式．

Answer 1

考點：程序框圖

專題：計算題,算法和程序框圖

分析：（1）根據(jù)框圖的流程，依次計算k=2，k=3時，輸出S的值，利用裂項相消法求得等差數(shù)列的首項與公差，可得數(shù)列的通項公式；
（2）判斷對數(shù)值為n-1的對數(shù)式的個數(shù)為2ⁿ-2^n-1，由此計算T值．

解答： 解：（1）由程序框圖知：數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，
則有

1

akak+1

=

1

d

（

1

ak

-

1

ak+1

）
∴S=

1

d

（

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

ak

-

1

ak+1

）=

1

d

（

1

a1

-

1

ak+1

）
∵若k=2，k=3時，分別有S=

2

3

和S=

3

4

∴

1 d ( 1 a1 - 1 a3 )= 2 3 1 d ( 1 a1 - 1 a4 )= 3 4

解得

a1=1 d=1

或

a1=-1 d=-1

(舍)
故a_n=a₁+（n-1）d=n；
（2）由題意可設(shè)T=[log21]+[log22]+[log23]+…[log2(2n-1)]+[log2(2n)]
T=[log21]+[log22]+[log23]+…[log2(2n-1)]+[log2(2n)]
=[log21]+([log22]+[log23])+…+([log2(2k)]+…+[log2(2k+1-1)])+…+[log2(2n)]
=0+1×（2²-2¹）+2×（2³-2²）+…+（n-1）（2ⁿ-2^n-1）+n
=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n
=（n-2）•2ⁿ+n+2．

點評：（1）借助等差數(shù)列考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程確定k=2，k=3時，輸出S的表達式是關(guān)鍵．
（2）考查了數(shù)列的求和問題，關(guān)鍵是判斷對數(shù)值等于n-1的個數(shù)．