Question

在平面直角坐標系xOy中，設橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，短半軸長為2，橢圓C長軸的右端點到其右焦點的距離為

5

-1．
（1）求橢圓C的方程．
（2）設直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且∠AOB=

π

2

．求證：原點O到直線AB的距離為定值．
（3）在（2）的條件下，求AB的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：

分析：（1）根據(jù)題意設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．再利用已知條件求出a，b的值即可．
（2）設原點O到直線AB的距離為d，則由題設及面積公式知d=

|OA|•|OB|

|AB|

．分情況討論．當直線OA的斜率不存在或斜率為0時，解得d=

2 5

3

．當直線OA的斜率k存在且不為0時，設直線方程為y=kx．與橢圓方程聯(lián)立解得A，B兩點的坐標，利用d=

|OA|•|OB|

|AB|

．化簡即可得到d=

2 5

3

．
（3））d為定值，所以求AB的最小值即求OA•OB的最小值．求AB的最小值即求OA•OB的最小值OA²•OB²=

k2+ 1 k2 +2

1 20 k2+ 1 20k2 + 41 400

．利用基本不等式即可求出AB的最小值．

解答： 解：（1）由題意，可設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
則

a-c= 5 -1 b=2 a2=b2+c2

，
解得

a= 5 b=2 c=1

．
∴橢圓方程為

x2

5

+

y2

4

=1．
（2）設原點O到直線AB的距離為d，
則由題設及面積公式知d=

|OA|•|OB|

|AB|

．
①當直線OA的斜率不存在或斜率為0時，
有

|OA|= 5 |OB|=2

或

|OB|= 5 |OA|=2

．
則|AB|=

4+5

=3．
∴d=

2 5

3

．
②當直線OA的斜率k存在且不為0時，
則聯(lián)立方程，得

x2 5 + y2 4 =1 y=kx

．
∴

x2

5

+

k2x2

4

=1．

解得

xA2= 1 1 5 + k2 4 yA2= k2 1 5 + k2 4

或

xB2= 1 1 5 + 1 4k2 yB2= 1 k2 1 5 + 1 4k2

在Rt△OAB中，
d2=

|OA|2•|OB|2

|AB|2

=

|OA|2•|OB|2

|OA|2+|OB|2

．

則

1

d2

=

|OA|2+|OB|2

|OA|2•|OB|2

=

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

1 5 + k2 4

1+k2

+

1 5 + 1 4k2

1+ 1 k2

=

1 5 + k2 4

1+k2

+

k2 5 + 1 4

1+k2

=

( 1 4 + 1 5 )k2+( 1 4 + 1 5 )

1+k2

=

1

4

+

1

5

=

9

20

．
∴d=

2 5

3

．
綜上，原點O到直線AB的距離為定值

2 5

3

．
（3）∵d為定值，
∴求AB的最小值即求OA•OB的最小值．
OA2•OB2=

(1+k2)•(1+ 1 k2 )

( 1 5 + k2 4 )•( 1 5 + 1 4k2 )

=

k2+ 1 k2 +2

1 20 k2+ 1 20k2 + 41 400

令t=k2+

1

k2

，則t≥2，
于是OA2•OB2=

t+2

1 20 t+ 41 400

=20•

20t+40

20t+41

=20(1-

1

20t+41

)

∵t≥2，
∴OA2•OB2≥20(1-

1

81

)=

1600

81

，
當且僅當t=2，即k=±1時，
OA•OB取得最小值

40

9

，
∴ABmin=

40 9

2 5 3

=

4 5

3

．
∴A的最小值為

4 5

3

．

點評：本題考查橢圓方程的求解，直線與橢圓相結(jié)合的問題，利用基本不等式求最值等知識．屬于難題．