Question

20．已知函數f（x）=sin（$\frac{5π}{6}$-2x）-2sin（x-$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{3π}{4}$）．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（2）若x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]，且F（x）=-4λf（x）-cos（4x-$\frac{π}{3}$）的最小值是-$\frac{3}{2}$，求實數λ的值．

Answer 1

分析 （1）先利用兩角和余差和二倍角等基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期，最后將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區(qū)間上，解不等式得函數的單調遞增區(qū)間；
（2）x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]時，化解F（x），求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的最小值，可得實數λ的值．

解答 解：函數f（x）=sin（$\frac{5π}{6}$-2x）-2sin（x-$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{3π}{4}$）．
化簡可得：f（x）=sin$\frac{5π}{6}$cos2x-cos$\frac{5π}{6}$sin2x-2sin（x-$\frac{π}{4}$）cos（π-$\frac{π}{4}$+x）
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+sin（2x-$\frac{π}{2}$）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）
（1）函數f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$，
∵2x-$\frac{π}{6}$∈[$2kπ-\frac{π}{2}$，$2kπ+\frac{π}{2}$]，k∈Z單調遞增區(qū)間；即$2kπ-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$，
解得：$kπ-\frac{π}{6}$≤x≤$kπ+\frac{π}{3}$，
∴函數f（x）的單調遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{6}$，$kπ+\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）由F（x）=-4λf（x）-cos（4x-$\frac{π}{3}$）
=-4λsin（2x-$\frac{π}{6}$）-cos（4x-$\frac{π}{3}$）
=-4λsin（2x-$\frac{π}{6}$）-1+2sin²（2x-$\frac{π}{6}$）
令t=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{π}{2}$]
∴0≤t≤1
那么F（x）轉化為g（t）=-4λt+2t²-1，
其對稱軸t=λ，開口向上，
當t=λ時，取得最小值為$-\frac{3}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{g（λ）=-\frac{3}{2}}\\{0≤λ≤1}\end{array}\right.$，
解得：λ=$\frac{1}{4}$．
故得實數λ的值為$\frac{1}{4}$．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．