Question

已知暗箱中開始有3個紅球，2個白球（所有的球除顏色外其它均相同）．現每次從暗箱中取出一個球后，再將此球以及與它同色的5個球（共6個球）一起放回箱中．
（Ⅰ）求第二次取出紅球的概率；
（Ⅱ）求第三次取出白球的概率；
（Ⅲ）設取出白球得5分，取出紅球得8分，求連續(xù)取球3次得分的分布列和數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）設第n次取出白球、紅球的概率分別為P_n，Q_n，利用互斥事件加法公式能求出第二次取出紅球的概率．
（Ⅱ）三次取的過程共有以下情況：白白白、白紅白、紅白白、紅紅白，由此能求出第三次取出白球的概率．
（Ⅲ）連續(xù)取球三次，得分的情況共有8種：5+5+5，8+5+5，5+8+5，5+5+8，8+8+5，8+5+8，5+8+8，8+8+8，分別求出X=15，18，21，24的概率，由此能求出連續(xù)取球3次得分的分布列和數學期望．

解答： 解：（Ⅰ）設第n次取出白球、紅球的概率分別為P_n，Q_n，
第二次取出紅球的概率Q₂=

2

5

×

3

3+5

+

3

5

×

3+5

5+5

=

3

5

．
（Ⅱ）三次取的過程共有以下情況：白白白、白紅白、紅白白、紅紅白，
∴第三次取出白球的概率是：
P₃=

2

5

×

2+5

5+5

×

2+5+5

5+5+5

+

2

5

×

3

3+5

×

2+5

5+5+5

+

3

5

×

2

5+5

×

2+5

5+5+5

+

3

5

×

3+5

5+5

×

2

5+5+5

=

2

5

．
（Ⅲ）連續(xù)取球三次，得分的情況共有8種：
5+5+5，8+5+5，5+8+5，5+5+8，8+8+5，8+5+8，5+8+8，8+8+8，
P（X=15）=

2

5

×

2+5

5+5

×

2+5+5

5+5+5

=

28

125

，
P（X=18）=

2

5

×

3

5+5

×

2+5

5+5+5

+

2

5

×

2+5

5+5

×

3

5+5+5

+

3

5

×

2

5+5

×

2+5

5+5+5

21

125

，
P（X=21）=

3

5

×

3+5

5+5

×

2

5+5+5

+

2

5

×

3

5+5

×

3+5

5+5+5

+

3

5

×

2

5+5

×

3+5

5+5+5

=

24

125

，
P（X=24）=

3

5

×

3+5

5+5

×

3+5+5

5+5+5

=

52

125

，
∴X的分布列為：

X	15	18	21	24
P	28 125	21 125	24 125	52 125

EX=15×

28

125

+18×

21

125

+21×

24

125

+24×

52

125

=

102

5

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，解題時要認真審題，是中檔題．