已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，A為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且，的面積為1（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
（1）求橢圓的方程；
（2）若C、D分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足，連結(jié)CM，交橢圓于點(diǎn)，證明：為定值；
（3）在（2）的條件下，試問(wèn)軸上是否存在異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q，使得以MP為直徑的圓恒過(guò)直線DP、MQ的交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.
(1).（2）見(jiàn)解析；(3)存在，使得以為直徑的圓恒過(guò)直線、的交點(diǎn).

試題分析：(1)由已知:,可得,,可得橢圓方程為.
（2）由（1）知，設(shè).根據(jù)知.
由消去,整理得:,
應(yīng)用韋達(dá)定理得
利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算即得(定值).
(3)以為直徑的圓恒過(guò)的交點(diǎn),
由，建立Q坐標(biāo)的方程.
試題解析：(1)由已知:,,,
所以橢圓方程為.          4分
（2）由（1）知，.
由題意可設(shè).

由消去,整理得:,

.,

(定值).    9分
(3)設(shè).
若以為直徑的圓恒過(guò)的交點(diǎn),
則.
由(2)可知:,
,
即恒成立,
∴存在，使得以為直徑的圓恒過(guò)直線、的交點(diǎn).          13分
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，且過(guò)點(diǎn)（）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)直線l:y=kx+t與圓（1＜R＜2）相切于點(diǎn)A，且l與橢圓E只有一個(gè)公共點(diǎn)B.
①求證：；
②當(dāng)R為何值時(shí)，取得最大值？并求出最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓：（）的右焦點(diǎn)，右頂點(diǎn),且．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若動(dòng)直線：與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且與直線交于點(diǎn),問(wèn)：是否存在一個(gè)定點(diǎn),使得.若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C：的左頂點(diǎn)為A，M是橢圓C上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng).

（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)，求m的值；
（2）若橢圓C上存在點(diǎn)M，使得，求m的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別、，點(diǎn)是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且焦距為6，的周長(zhǎng)為16．
（I）求橢圓的方程；
（2）求過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線被橢圓所截的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)R(1,0)作動(dòng)弦MN，則弦MN中點(diǎn)P的軌跡是(　　)
A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知橢圓的左焦點(diǎn)為與過(guò)原點(diǎn)的直線相交于兩點(diǎn),連接,若,則橢圓的離心率
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知離心率為的雙曲線和離心率為的橢圓有相同的焦點(diǎn)、，是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，若，則等于(     )
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

給定橢圓C：＝1(a>b>0)，稱(chēng)圓心在原點(diǎn)O、半徑是的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(，0)，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為.
(1)求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；
(2)若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點(diǎn)，B、D是橢圓C上的兩相異點(diǎn)，且BD⊥x軸，求·的取值范圍；
(3)在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，試判斷l(xiāng)1，l2是否垂直？并說(shuō)明理由．

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