Question

函數(shù)y=lg（3-4x+x²）的定義域為M，函數(shù)f（x）=4^x-2^x+1（x∈M）．
（1）求M；
（2）求函數(shù)f（x）的值域；
（3）當x∈M時，若關于x的方程4^x-2^x+1=b（b∈R）有實數(shù)根，求b的取值范圍，并討論實數(shù)根的個數(shù)．

Answer 1

（1）x²-4x+3＞0，（x-1）（x-3）＞0，x＜1或x＞3，
∴M={x|x＜1或x＞3}（2分）

（2）設t=2^x，∵x＜1或x＞3，
∴t∈（0，2）∪（8，+∞）（3分）
f（x）=g（t）=t²-2t=（t-1）²-1，（4分）
當t∈（0，1）時g（t）遞減，當t∈（1，2）時g（t）遞增，g（1）=-1，g（0）=g（2）=0，
所以t∈（0，2）時，g（t）∈[-1，0）（6分）
當t∈（8，+∞）時g（t）遞增，g（8）=48，所以g（t）∈（48，+∞）（7分）
故f（x）的值域為[-1，0）∪（48，+∞）（8分）

（3）b=4^x-2^x+1，即b=f（x），方程有實根
∴函數(shù)y₁=b與函數(shù)y₂=f（x）（x∈M）的圖象有交點．（10分）
由（2）知f（x）∈[-1，0）∪（48，+∞），
所以當b∈[-1，0）∪（48，+∞）時，方程有實數(shù)根．（12分）
下面討論實根個數(shù)：
①當b=-1或當b∈（48，+∞）時，方程只有一個實數(shù)根（13分）
②當b∈（-1，0）時，方程有兩個不相等的實數(shù)根（14分）
③當b∈（-∞，-1）∪[0，48]時，方程沒有實數(shù)根（15分）