Question

理科附加題：
已知(1+

1

2

x)n展開式的各項依次記為a₁（x），a₂（x），a₃（x），…a_n（x），a_n+1（x）．
設F（x）=a₁（x）+2a₂（x）+3a₃（x），…+na_n（x）+（n+1）a_n+1（x）．
（Ⅰ）若a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系數依次成等差數列，求n的值；
（Ⅱ）求證：對任意x₁，x₂∈[0，2]，恒有|F（x₁）-F（x₂）|≤2^n-1（n+2）．

Answer 1

（Ⅰ）依題意ak(x)=

C

k-1n

(

1

2

x)k-1，k=1，2，3，…，n+1，
a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系數依次為C_n⁰=1，

C

1n

•

1

2

=

n

2

，

C

2n

•(

1

2

)2=

n(n-1)

8

，
所以2×

n

2

=1+

n(n-1)

8

，
解得n=8；            
（Ⅱ）F（x）=a₁（x）+2a₂（x）+3a₃（x），…+na_n（x）+（n+1）a_n+1（x）=

C

0n

+2

C

1n

(

1

2

x)+3

C

2n

(

1

2

x)2…+n

C

n-1n

(

1

2

x)n-1+(n+1)

C

nn

(

1

2

x)n
F（2）-F（0）=2C_n¹+3C_n²…+nC_n^n-1+（n+1）C_nⁿ
設S_n=C_n⁰+2C_n¹+3C_n²…+nC_n^n-1+（n+1）C_nⁿ，
則S_n=（n+1）C_nⁿ+nC_n^n-1…+3C_n²+2C_n¹+C_n⁰
考慮到C_n^k=C_n^n-k，將以上兩式相加得：2S_n=（n+2）（C_n⁰+C_n¹+C_n²…+C_n^n-1+C_nⁿ）
所以S_n=（n+2）2^n-1
所以F（2）-F（0）=（n+2）2^n-1-1
又當x∈[0，2]時，F'（x）≥0恒成立，
從而F（x）是[0，2]上的單調遞增函數，
所以對任意x₁，x₂∈[0，2]，|F（x₁）-F（x₂）|≤F（2）-F（0）═（n+2）2^n-1-1＜（n+2）2^n-1．