Question

（2012•安慶模擬）設(shè)a＞0，函數(shù)f（x）=lnx-ax，g（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

（1）證明：當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞0恒成立；
（2）若函數(shù)f（x）無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)相異零點(diǎn)x₁、x₂，求證：x₁x₂＞e²．

Answer 1

分析：（1）可轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）_min＞0，從而可用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g（x）的最小值．
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性、最值，再結(jié)合其圖象即可得出a的限制條件；
（3）不妨令x₁＞x₂＞0，用分析法對(duì)x₁x₂＞e²進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，最后可構(gòu)造函數(shù)借助（1）問(wèn)結(jié)論得證．

解答：（1）證明：g′(x)=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

，由于已知x＞1，∴g'（x）＞0恒成立∴g（x）在（1，+∞）遞增，∴g（x）＞g（1）=0
∴x＞1時(shí)，g（x）＞0恒成立．
（2）f（x）=lnx-ax的定義域是（0，+∞），f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，
由于a＞0，x＞0，令f′（x）＞0，解得0＜x＜

1

a

，
∴f（x）在(0，

1

a

)上遞增，在(

1

a

，+∞)上遞減．
∴f(x)≤f(

1

a

)=-lna-1，欲使函數(shù)f（x）無(wú)零點(diǎn)，則只要-lna-1＜0，即lna＞-1，∴a＞

1

e

．
故所求a的范圍是(

1

e

，+∞)．
（3）因?yàn)閒（x）有兩個(gè)相異的零點(diǎn)，又由于x＞0，
故不妨令x₁＞x₂＞0，且有l(wèi)nx₁=ax₁，lnx₂=ax₂ ，∴l(xiāng)nx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），
要證x1x2＞e2?ln(x1x2)＞2?lnx1+lnx2＞2?a＞

2

x1+x2

?

lnx1-lnx2

x1-x2

＞

2

x1+x2

?lnx1-lnx2＞

2(x1-x2)

x1+x2

?ln

x1

x2

＞

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

令t=

x1

x2

，則t＞1，故只要證明lnt＞

2(t-1)

t+1

，t＞1時(shí)恒成立，
而由（1）知t＞1時(shí)，lnt-

2(t-1)

t+1

＞0恒成立，即lnt＞

2(t-1)

t+1

恒成立，從而證明x1x2＞e2．
故x₁x₂＞e²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，對(duì)于恒成立問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決．本題（3）問(wèn)難度較大，需要恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)借助（1）問(wèn)結(jié)論解決．