Question

長沙市某棚戶區(qū)改造建筑用地平面示意圖如圖所示．經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定，棚改規(guī)劃建筑用地區(qū)域近似地為半徑是R的圓面．該圓面的內(nèi)接四邊形ABCD是原棚戶建筑用地，測量可知邊界AB=AD=4萬米，BC=6萬米，CD=2萬米．
（1）請計算原棚戶區(qū)建筑用地ABCD的面積及圓面的半徑R的值；
（2）因地理條件的限制，邊界AD、DC不能變更，而邊界AB、BC可以調(diào)整，為了提高棚戶區(qū)改造建筑用地的利用率，請在圓弧ABC上設(shè)計一點(diǎn)P；使得棚戶區(qū)改造的新建筑用地APCD的面積最大，并求最大值．

Answer 1

分析：（1）連接AC，根據(jù)余弦定理求得cos∠ABC的值，進(jìn)而求得∠ABC，然后利用三角形面積公式分別求得△ABC和△ADC的面積，二者相加即可求得四邊形ABCD的面積，在△ABC中，由余弦定理求得AC，進(jìn)而利用正弦定理求得外接圓的半徑．
（2）設(shè)AP=x，CP=y．根據(jù)余弦定理求得x和y的關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)均值不等式求得xy的最大值，進(jìn)而求得△APC的面積的最大值，與△ADC的面積相加即可求得四邊形APCD面積的最大值．

解答：解：（1）因為四邊形ABCD內(nèi)接于圓，
所以∠ABC+∠ADC=180°，連接AC，由余弦定理：
AC²=4²+6²-2×4×6×cos∠ABC
=4²+2²-2×2×4cos∠ADC、
所以cos∠ABC=

1

2

，∵∠ABC∈（0，π），
故∠ABC=60°．
S_{四邊形ABCD}=

1

2

×4×6×sin60°+

1

2

×2×4×sin120°
=8

3

（萬平方米）．
在△ABC中，由余弦定理：
AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC
=16+36-2×4×6×

1

2

．
AC=2

7

．
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=2R，
∴2R=

AC

sin∠ABC

=

2 7

3 2

=

4 21

3

，
∴R=

2 21

3

（萬米）．
（2）∵S_{四邊形APCD}=S_△ADC+S_△APC，
又S_△ADC=

1

2

AD•CD•sin120°=2

3

，
設(shè)AP=x，CP=y．
則S_△APC=

1

2

xy•sin60°=

3

4

xy．
又由余弦定理AC²=x²+y²-2xycos60°
=x²+y²-xy=28．
∴x²+y²-xy≥2xy-xy=xy．
∴xy≤28，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取等號
∴S_{四邊形APCD}=2

3

+

3

4

xy≤2

3

+

3

4

×28=9

3

，
∴最大面積為9

3

萬平方米．

點(diǎn)評：本題主要考查了解三角形的實際應(yīng)用，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用以及基本不等式求最值．考查了基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用．