(本小題滿分12分)已知拋物線
的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F作直線
與拋物線交于A,B兩點(diǎn),拋物線的準(zhǔn)線與
軸交于點(diǎn)C。
(1)證明:
;
(2)求
的最大值,并求
取得最大值時(shí)線段AB的長。
解:
(Ⅰ)由題設(shè)知,F(xiàn)(
,0),C(-
,0),
設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),直線l方程為x=my+
,
代入拋物線方程y
2=2px,得y
2-2pmy-p
2=0.
y
1+y
2=2pm,y
1y
2=-p
2. …4分
不妨設(shè)y
1>0,y
2<0,則
∴tan∠ACF=tan∠BCF,所以∠ACF=∠BCF. …8分
此時(shí)∠ACF取最大值
,∠ACB=2∠ACF取最大值
,
并且A(
,p),B(
,-p),|AB|=2p. …12分
本題以直線和拋物線的位置關(guān)系為背景考查角的證明以及最值問題,考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力,第一問可通過直線和方程聯(lián)立,借助韋達(dá)定理和計(jì)算角的正切值進(jìn)行證明;第二問借助第一問的結(jié)論,借助均值不等式進(jìn)行求解最值.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
以
為中點(diǎn)的拋物線
的弦所在直線方程為:
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
若圓
過點(diǎn)
且與直線
相切,設(shè)圓心
的軌跡為曲線
,
、
為曲線
上的兩點(diǎn),點(diǎn)
,且滿足
.
(1)求曲線
的方程;
(2)若
,直線
的斜率為
,過
、
兩點(diǎn)的圓
與拋物線在點(diǎn)
處有共同的切線,求圓
的方程;
(3)分別過
、
作曲線
的切線,兩條切線交于點(diǎn)
,若點(diǎn)
恰好在直線
上,求證:
與
均為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知拋物線C:
的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P(2,0),O為坐標(biāo)原點(diǎn),過P的直線
與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),若向量
在向量
上的投影為n,且
,求直線
的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
一拋物線形拱橋,當(dāng)水面離橋頂2m時(shí),水面寬4m,若水面下降1m,則水面寬為( )
A.m | B.2m | C.4.5m | D.9m |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
拋物線
上與焦點(diǎn)的距離等于
的點(diǎn)的縱坐標(biāo)是 ( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
拋物線
的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( ▲ )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(12分)如圖,線段AB過x軸正半軸上一定點(diǎn)M(m,0),端點(diǎn)A、B到x軸的距離之積為2m,以x軸為對稱軸,過A、O、B三點(diǎn)作拋物線,求該拋物線的方程。
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