Question

(本小題滿分12分)已知數(shù)列各項(xiàng)均不為0，其前項(xiàng)和為，且對(duì)任意都有（為大于1的常數(shù)），記．

(1) 求；

(2) 試比較與的大�。�）；

(3) 求證：

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）由(1)可得，結(jié)合整體思想來得到比較大小

（3）由(2)知 ，，（）．結(jié)合放縮法來得到證明。

【解析】

試題分析：解：(1) ∵，①  ∴．②

②－①，得，即．  （3分）  在①中令，

可得．∴是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，． （4分）

(2) 由(1)可得．

．

∴，   （5分）

．而，且，

∴，．∴，（）．（8分）

(3) 由(2)知 ，，（）．

∴當(dāng)時(shí)，．

∴，（10分）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．

另一方面，當(dāng)，時(shí)，

．

∵，∴．

∴，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．（13分）

∴．（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．

綜上所述，，（）．（14分）

考點(diǎn)：數(shù)列的綜合運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和關(guān)系的運(yùn)用，以及能結(jié)合已知給定的不等式來放縮法得到證明。