Question

對正整數(shù)n，設(shè)x_n是關(guān)于x的方程nx³+2x-n=0的實(shí)數(shù)根，記a_n=[（n+1）x_n]（n=2，3…），（符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[-2.5]=-3，[5]=5），
（1）求a₃的值；
（2）計算：

1

2015

（a₂+a₃+…+a₂₀₁₆）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用,函數(shù)的值

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)t=（n+1）x，得到x=

t

n+1

，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點(diǎn)，判斷a_n=[（n+1）X_n]=n然后求出a₃的值．
（2）直接利用等差數(shù)列求和公式以及（1）的結(jié)果，直接求解即可．

解答： 解：（1）設(shè)t=（n+1）x，則x=

t

n+1

，
∴nx³+2x-n=n

t3

(n+1)3

+2

t

n+1

-n，記為g（t）=n

t3

(n+1)3

+2

t

n+1

-n，n∈N，
當(dāng)n≥2，則g（t）是增函數(shù)，
方程g（t）=0只有一個實(shí)根t_n． 
g（n+1）=2＞0，
g（n）=

n(1+n-n2)

(n+1)3

＜0，
∴n＜t_n＜n+1，
即n＜（n+1）x_n＜n+1，
∴a_n=[（n+1）x_n]=n，
∴a₃=3．
（2）由（1）可知，a_n=[（n+1）x_n]=n，
∴

1

2015

（a₂+a₃+…+a₂₀₁₆）=

1

2015

×

(2+2016)×2015

2

=1009．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用函數(shù)的零點(diǎn)，數(shù)列求和的基本方法，考查分析問題解決問題以及計算能力．