Question

對正整數n，設x_n是關于x的方程nx³+2x-n=0的實數根，記a_n=[（n+1）x_n]（n=2，3…），（符號[x]表示不超過x的最大整數，如[-2.5]=-3，[5]=5），
（1）求a₃的值；
（2）計算：

1

2015

（a₂+a₃+…+a₂₀₁₆）．

Answer 1

考點：數列的應用,函數的值

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）設t=（n+1）x，得到x=

t

n+1

，構造函數，利用函數的單調性以及函數的零點，判斷a_n=[（n+1）X_n]=n然后求出a₃的值．
（2）直接利用等差數列求和公式以及（1）的結果，直接求解即可．

解答： 解：（1）設t=（n+1）x，則x=

t

n+1

，
∴nx³+2x-n=n

t3

(n+1)3

+2

t

n+1

-n，記為g（t）=n

t3

(n+1)3

+2

t

n+1

-n，n∈N，
當n≥2，則g（t）是增函數，
方程g（t）=0只有一個實根t_n． 
g（n+1）=2＞0，
g（n）=

n(1+n-n2)

(n+1)3

＜0，
∴n＜t_n＜n+1，
即n＜（n+1）x_n＜n+1，
∴a_n=[（n+1）x_n]=n，
∴a₃=3．
（2）由（1）可知，a_n=[（n+1）x_n]=n，
∴

1

2015

（a₂+a₃+…+a₂₀₁₆）=

1

2015

×

(2+2016)×2015

2

=1009．

點評：本題考查函數的單調性的應用函數的零點，數列求和的基本方法，考查分析問題解決問題以及計算能力．