Question

已知函數(shù)f(x)=x2+

2

x

+alnx，(a∈R)
（1）若a=-4，求函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）記函數(shù)g（x）=x²f′（x），若g（x）的最小值是-

5

2

，求f（x）的解析式．

Answer 1

（1）當(dāng)a=-4時(shí)，f(x)=x2+

2

x

-4lnx，（x＞0）
f′(x)=2x -

2

x2

-

4

x

=

2x3-4x-2

x2

=

2(x2-x-1)(x+1)

x2

令f′（x）=0，則x=

1+ 5

2

∵x∈（0，

1+ 5

2

）時(shí)，f′（x）＜0，∵當(dāng)x∈（

1+ 5

2

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴（0，

1+ 5

2

）為函數(shù)f(x)=x2+

2

x

-4lnx的單調(diào)遞減區(qū)間，
∴（

1+ 5

2

，+∞）為函數(shù)f(x)=x2+

2

x

-4lnx的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）∵f′（x）=

2x3+ax-2

x2

若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
則f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
即2x³+ax-2≥0在[1，+∞）上恒成立
即a≥

1-x4

x

在[1，+∞）上恒成立
令h（x）=

1-x4

x

，則h′（x）=

-3x4-1

x2

＜0恒成立
故h（x）=

1-x4

x

在[1，+∞）上單調(diào)遞減
當(dāng)x=1時(shí)，h（x）取最大值0
故a≥0，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，+∞）
（3）g（x）=x²f′（x）=2x³+ax-2
則g′（x）=6x²+a，
當(dāng)a≥0時(shí)，g′（x）≥0恒成立
此時(shí)g（x）在定義域（0，+∞）上無(wú)最小值
當(dāng)a＜0時(shí)，令g′（x）=6x²+a=0
則x=

- a 6

∵x∈（0，

- a 6

）時(shí)，f′（x）＜0，∵當(dāng)x∈（

- a 6

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴（0，

- a 6

）為函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，
∴（

- a 6

，+∞）為函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)x=

- a 6

時(shí)，g（x）的最小值g（

- a 6

）=2

- a 6

3+a

- a 6

-2=-

5

2

，
解得a=-

3

2

∴f(x)=x2+

2

x

-

3

2

lnx