Question

△ABC的三內角A，B，C對應三邊a，b，c成等差數列，且，，函數
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調增區(qū)間；（2）求的值域．

Answer 1

解：（1）f（x）=sin²x+cosx（2sinx+3cosx）-1
=sin2x+cos2x+1=，（3分）
由得：
∴函數的最小正周期：T=π，單調遞增區(qū)間是：（6分）
（2）由a，b，c成等差數列，得：2b=a+c，
∴
=，
∴，（10分）
∴的值域為．（12分）
分析：（1）根據平面向量的數量積的運算法則，由且，，得到，進而得到f（x）的解析式，把f（x）利用二倍角的正弦、余弦函數公式，同角三角函數間的基本關系及兩角和的正弦函數公式和特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，根據周期的公式T=及正弦函數的單調遞增區(qū)間[2kπ-，2kπ+]，即可得到f（x）的最小正周期和單調增區(qū)間；
（2）由三角形的三邊a，b，c成等差數列，根據等差數列的性質得到2b=a+c，表示出b，然后余弦定理表示出cosB，把表示出的b代入化簡后得到cosB的值大于等于，由B為三角形中的角，得到B的取值范圍，把x=代入f（x）中化簡后，由B的范圍得到正弦函數相應的值域，進而得到f（x）的值域．
點評：此題考查學生靈活運用二倍角的正弦、余弦函數公式，同角三角函數間的基本關系及兩角和的正弦函數公式和特殊角的三角函數值化簡求值，掌握正弦函數的周期及單調性，是一道中檔題．