Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+，其中a為大于零的常數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[[1，2]上的最小值．

Answer 1

解：f′（x）=（x＞0），
（1）由已知，得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥在[1，+∞）上恒成立，
又∵當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，1，
∴a≥1，即a的取值范圍為[1，+∞）；
（2）當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，這時(shí)f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（1）=0；
當(dāng)0＜a≤，∵f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，這時(shí)f（x）在[1，2]上為減函數(shù)，
∴f（x）_min=f（2）=ln2-；
當(dāng)＜a＜1時(shí)，令f′（x）=0，得x=∈（1，2），
又∵對(duì)于x∈[1，）有f′（x）＜0，對(duì)于x∈（，2）有f′（x）＞0，
∴f（x）_min=f（）=ln+1-，
綜上，f（x）在[1，2]上的最小值為
①當(dāng)0＜a時(shí)，f（x）_min=ln2-；
②當(dāng)時(shí)，f（x）_min=ln+1-；
③當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）_min=0．
分析：（1）求導(dǎo)數(shù)f′（x），由函數(shù)f（x）在區(qū)間[1+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值即可；
（2）令f′（x）=0，得x=，根據(jù)x=在區(qū)間[1，2]外、區(qū)間內(nèi)分情況討論，按照單調(diào)性即可求得其最小值；
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、在閉區(qū)間上的最值及函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想，函數(shù)恒成立問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決．