Question

求下列曲線的標準方程
（1）焦點為F₁（-1，0）和F₂（1，0）且過（

2

，-

6

2

）的橢圓；
（2）漸近線為y=±

2

3

x且焦距為2

13

的雙曲線．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程,雙曲線的標準方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），利用橢圓焦點為F₁（-1，0）和F₂（1，0）且過（

2

，-

6

2

），建立方程，求出a，b，即可求得橢圓方程；
（2）設雙曲線方程為

x2

9

-

y2

4

=λ，分類討論，利用焦距為2

13

，可得雙曲線方程．

解答： 解：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則
∵橢圓焦點為F₁（-1，0）和F₂（1，0）且過（

2

，-

6

2

），
∴a²-b²=1，

2

a2

+

3 2

b2

=1，
∴a=2，b=

3

，
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設雙曲線方程為

x2

9

-

y2

4

=λ
λ＞0時，9λ+4λ=13，∴λ=1，∴雙曲線方程為

x2

9

-

y2

4

=1；
λ＜0時，-9λ-4λ=13，∴λ=-1，∴雙曲線方程為

x2

9

-

y2

4

=-1．

點評：本題考查橢圓、雙曲線方程，考查學生的計算能力，比較基礎．