Question

已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)；

（2）若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求的值；

（3）求在上的最小值.

Answer 1

解答】：（1）當(dāng)時(shí)，， ………2分

令得，當(dāng)時(shí)，，（舍去）

當(dāng)時(shí)，，（舍去）

所以當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)為1，                ………………………………4分

（2）方程，即，

變形得，         ………………………………6分

從而欲使原方程有三個(gè)不同的解，即要求方程…(1)

與…(2)

滿足下列情形之一：

（I）一個(gè)有等根，另一個(gè)有兩不等根，且三根不等

（II）方程（1）、（2）均有兩不等根且由一根相同；

對(duì)情形（I）：若方程(1)有等根，則

  解得   代入方程（2）檢驗(yàn)符合；

若方程(2)有等根，則解得代入方程（1）檢驗(yàn)符合；……8分

對(duì)情形（II）：設(shè)是公共根，則，

解得代入（1）得，

代入檢驗(yàn)得三個(gè)解為-2、0、1符合

代入檢驗(yàn)得三個(gè)解為2、0、-1符合

故有三個(gè)不同的解的值為或．        ……………10分

（3）因?yàn)?sub>=,

①     當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，

故在上最小值為………………11分

②     當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，

故在上最小值為………………12分

③     當(dāng)時(shí)，

（i）當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖形可知當(dāng)時(shí)遞減，在上遞增

故此時(shí)在[-2，2]上的最小值為 ………………13分

（ii）當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖形可知當(dāng)時(shí)遞減，當(dāng)時(shí)遞增，

故此時(shí)在[-2，2]上的最小值為  ……………………14分

（iii）當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖形可知當(dāng)時(shí)遞減，當(dāng)時(shí)遞增，

在上最小值為      ………………………15分

綜上所述： ………………………16分

解法二：因?yàn)?sub>=,

①     當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，

故在上最小值為  ………………12分

②       當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，

故在上最小值為   ………………14分

③     當(dāng)時(shí)，在上遞減，當(dāng)時(shí)遞增，故此時(shí)在[-2，2]上的最小值為

綜上所述：