Question

1．已知F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C₁：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1的上、下焦點(diǎn)，F(xiàn)₁是拋物線C₁：x²=4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)M是C₁與C₂在第二象限的交點(diǎn)，且|MF₁|=$\frac{5}{3}$
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）與圓x²+（y+1）²=1相切的直線l：y=k（x+t），kt≠0交橢圓C₁于A，B，若橢圓C₁上一點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OP}$，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的方程和定義即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用橢圓的定義即可求出；
（2）根據(jù)直線與圓相切則圓心到直線距離等于半徑，可得k=$\frac{2t}{1-{t}^{2}}$，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合橢圓上一點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OP}$，可得到λ²的表達(dá)式，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題知F₁（0，1），所以a²-b²=1，
又由拋物線定義可知MF₁=y_M+1=$\frac{5}{3}$，得y_M=$\frac{2}{3}$，
于是易知M（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2}{3}$），從而MF₁=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}+（\frac{2}{3}+1）^{2}}$=$\frac{7}{3}$，
由橢圓定義知2a=MF₁+MF₂=4，得a=2，故b²=3，
從而橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；                  
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），則由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OP}$知，
x₁+x₂=λx₀，y₁+y₂=λy₀，且$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=1，①
又直線l：y=k（x+t），kt≠0與圓x²+（y+1）²=1相切，所以有$\frac{|kt+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
由k≠0，可得k=$\frac{2t}{1-{t}^{2}}$（t≠±1，t≠0）②
又聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+t）}\\{4{x}^{2}+3{y}^{2}=12}\end{array}\right.$消去y得（4+3k²）x²+6k²tx+3k²t²-12=0，
且△＞0恒成立，且x₁+x₂=-$\frac{6{k}^{2}t}{4+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}{t}^{2}-12}{4+3{k}^{2}}$，
所以y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2kt=$\frac{8kt}{4+3{k}^{2}}$，所以得P（$\frac{-6{k}^{2}t}{λ（4+3{k}^{2}）}$，$\frac{8kt}{λ（4+3{k}^{2}）}$），
代入①式得$\frac{12{k}^{4}{t}^{2}}{（4+3{k}^{2}）^{2}{λ}^{2}}$+$\frac{16{k}^{2}{t}^{2}}{{λ}^{2}（4+3{k}^{2}）^{2}}$=1，所以λ²=$\frac{4{k}^{2}{t}^{2}}{4+3{k}^{2}}$，
又將②式代入得，λ²=$\frac{4}{（\frac{1}{{t}^{2}}）^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}+1}$，t≠0，t≠±1，
易知（$\frac{1}{{t}^{2}}$）²+$\frac{1}{{t}^{2}}$+1＞1，且（$\frac{1}{{t}^{2}}$）²+$\frac{1}{{t}^{2}}$+1≠3，
所以λ²∈（0，$\frac{4}{3}$）∪（$\frac{4}{3}$，4），
所以λ的取值范圍為{λ|-2＜λ＜2且λ≠0，且λ≠±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$}．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握?qǐng)A錐曲線的定義和性質(zhì)、向量相等、直線與圓錐曲線的相交問題及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．本題需要較強(qiáng)的計(jì)算能力，注意分類討論的思想方法應(yīng)用．