Question

設(shè)

b

是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有f（x+2）=-f（x），當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x-x²
（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，求f（x）的解析式；
（3）計(jì)算：f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2004）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的周期性,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知f（x+2）=-f（x），取x=x+2證得結(jié)論；
（2）求出x∈[-2，0]時(shí)的函數(shù)解析式，又當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，x-4∈[-2，0]，再結(jié)合周期函數(shù)求得x∈[2，4]時(shí)的函數(shù)解析式；
（3）求出f（0）=0，f（2）=0，f（1）=1，f（3）=-1，利用周期性得答案．

解答： （1）證明：∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期為4的周期函數(shù)；
（2）解：當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，-x∈[0，2]，
由已知得f（-x）=2（-x）-（-x）²=-2x-x²，
又f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）=-2x-x²，
∴f（x）=x²+2x，
又當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，x-4∈[-2，0]，
∴f（x-4）=（x-4）²+2（x-4），
又f（x）是周期為4的周期函數(shù)，
∴f（x）=f（x-4）=（x-4）²+2（x-4）=x²-6x+8，
從而求得x∈[2，4]時(shí)，f（x）=x²-6x+8；
（3）解：f（0）=0，f（2）=0，f（1）=1，f（3）=-1，
又f（x）是周期為4的周期函數(shù)，
∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）+f（7）
=…=f（2 000）+f（2 001）+f（2 002）+f（2 003）=0．
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2 004）=0+f（2004）=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了學(xué)生的靈活思維能力和抽象思維能力，是難題．